Expresiones aritméticas - Gráficas Bonitas

Las expresiones aritméticas son parte esencial de casi cualquier algoritmo que resuelve un problema útil. Por lo tanto, implementar expresiones aritméticas correctamente es una destreza básica en cualquier lenguaje de programación de computadoras. En esta experiencia de laboratorio practicarás la implementación de expresiones aritméticas en C++, escribiendo ecuaciones paramétricas para graficar curvas interesantes.

Objetivos:

1. Implementar expresiones aritméticas en C++ para producir gráficas.
2. Utilizar constantes adecuadamente.
3. Definir variables utilizando tipos de datos adecuados.
4. Convertir el valor de un dato a otro tipo cuando sea necesario.

Pre-Lab:

Antes de llegar al laboratorio debes haber:

1. Repasado los siguientes conceptos:

   a. La implementación de expresiones aritméticas en C++

   b. Los tipos de datos básicos de C++ (int, float, double, char)

   c. El uso de "type casting" para covertir el valor de una variable a otro tipo de dato dentro de expresiones

   d. Utilizar funciones y constantes aritméticas de la biblioteca cmath

   e. La ecuación y gráfica de un círculo.

2. Estudiado los conceptos e instrucciones para la sesión de laboratorio.

3. Tomado el quiz Pre-Lab, disponible en Moodle.

Ecuaciones paramétricas

Las ecuaciones paramétricas nos permiten representar una cantidad como función de una o más variables independientes llamadas parámetros. En muchas ocasiones resulta útil representar curvas utilizando un conjunto de ecuaciones paramétricas que expresen las coordenadas de los puntos de la curva como funciones de los parámetros. Por ejemplo, en tu curso de trigonometría debes haber estudiado que la ecuación de un círculo con radio $r$, y centro en el origen tiene una forma así:

$x^2+y^2=r^2.$

Los puntos $(x,y)$ que satisfacen esta ecuación son los puntos que forman el círculo de radio $r$ y centro en el origen. Por ejemplo, el círculo con $r=2$ y centro en el origen tiene la ecuación

$x^2+y^2=4,$

y sus puntos son los pares ordenados $(x,y)$ que satisfacen esa ecuación. Una forma paramétrica de expresar las coordenadas de los puntos de el círculo con radio $r$ y centro en el origen es:

$x=r \cos(t)$

$y=r \sin(t),$

donde $t$ es un parámetro que corresponde a la medida (en radianes) del ángulo positivo con lado inicial que coincide con la parte positiva del eje de $x$, y el lado terminal que contiene el punto $(x,y)$, como se muestra en la Figura 1.

Figura 1. Círculo con centro en el origen y radio $r$.

Para graficar una curva que está definida usando ecuaciones paramétricas, computamos los valores de $x$ y $y$ para un conjunto de valores del parámetro. Por ejemplo, la Figura 2 resalta algunos valores de $t$, $x$ y $y$ para el círculo con $r = 2$.

Figura 2. Algunas coordenadas de los puntos $(x,y)$ del círculo con radio $r=2$ y centro en el origen.

¿Cuál es el valor aproximado de $x$ y $y$ cuando el valor del parámetro $t$ es $\frac{3\pi}{4}$? $x = -0.707$, $y = +0.707$ $x = -0.707$, $y = -0.707$ $x = +0.707$, $y = -0.707$ $x = cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -0.707$
$y = sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = +0.707$

Grafica algunos de los puntos $(x,y)$ con ecuaciones paraméticas $x = 2t$ y $y = t$. Por ejemplo, para $t = 0,1,2,3$ ¿Qué curva obtienes? Una línea recta que pasa por el origen. Un círculo de radio $2$. Una parábola que cruza el eje de $x$ en $-2$ y $+2$. La curva que resulta de las ecuaciones paramétricas $x = 2t$ y $y = t$ es una línea con pendiente $0.5$ ($y = 0.5x$).

La forma más común de generar diversos valores para el parámetro $t$ en un programa es usando una estructura de repetición como el ciclo for. ¿Cuáles son los primeros cuatro valores que asume $t$ en el siguiente ciclo for?
0, 0.05, 0.10 y 0.15. 0, .628, 1.56, y 6.28 0, 1, 2, y 3. El ciclo for (double t = 0.0; t < 6.28; t = t + 0.05) se repite siempre y cuando el valor de $t$ sea menor que $6.28$. En cada iteración el valor de $t$ incrementa en $0.05$. Por lo tanto, los primeros cuatro valores serán 0, 0.05, 0.10 y 0.15.

¿Cuáles serán los primeros cuatro valores de $x$ y $y$ en el siguiente ciclo?
$x = 0, 1, 2, 3$ $y = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4$ $x =0.0, 0.5, 1, 1.5$ $y = 1.0, 1.05, 1.1, 1.15$ $x = 0, 5, 10, 15$ $y = 0.0, 0.5, 1, 1.5$ El ciclo for (double t = 0.0; t < 6.28; t = t + 0.05) se repite siempre y cuando el valor de $t$ sea menor que $6.28$. En cada iteración el valor de $t$ incrementa en $0.05$. Por lo tanto, los primeros cuatro valores de $t$ serán 0, 0.05, 0.10 y 0.15. Los valores de $x$ serán $0.0, 0.5, 1, 1.5$. Los de $y$ serán $1.0, 1.05, 1.1, 1.15$.

En uno de los ejercicios de este laboratorio crearás un programa para calcular el promedio de notas de un estudiante. ¿Cuál sería el promedio de un estudiante que sacó diez A's y una C (asumiendo que cada A vale 4 puntos y cada C vale 2)? 3.16 3.82 3.91 4.00 El promedio se calcula usando $\frac{\left( Numero\, de\, A's \times Valor\,de\,A \right) + \left( Numero\, de\, B's \times Valor\,de\,B \right) + \ldots}{Number\,Total\,de\,Notas}$ En este caso, el GPA es: $\frac{ (10 \times 4.0) + (1 \times 2.0) }{11} = 3.82$.

¿Cuál es el resultado de la siguiente expresión en C++: ( 11 ∗ 4 + 1 ∗ 2 ) / 12? Nota que la operación usa solo enteros 3 3.83 3.91 4 El resultado es 3 pues 46 / 12 se realiza como división de enteros, que resulta en el cociente.

¿Cuál es el resultado de la siguiente expresión en C++: static_cast<double> ( ( 10 ∗ 4 + 1 ∗ 2 ) / 11) ? 3.0 3.83 3.91 4.0 El resultado es 3.0 pues el static_cast<double> afecta el resultado de la expresión (la cual ya es entera pues fue realizada exclusivamente entre enteros).

Sesión de laboratorio:

Ejercicio 1 - Graficar algunas curvas interesantes

Instrucciones

1. Carga a QtCreator el proyecto prettyPlot. Hay dos maneras de hacer esto:

   • Utilizando la máquina virtual: Haz doble “click” en el archivo prettyPlot.pro que se encuentra en el directorio /home/eip/labs/expressions-prettyplots de la máquina virtual.
   • Descargando la carpeta del proyecto de Bitbucket: Utiliza un terminal y escribe el comando git clone http:/bitbucket.org/eip-uprrp/expressions-prettyplots para descargar la carpeta expressions-prettyplots de Bitbucket. En esa carpeta, haz doble “click” en el archivo prettyPlot.pro.

2. Configura el proyecto y ejecuta el programa marcando la flecha verde en el menú de la izquierda de la interface de Qt Creator. El programa debe mostrar una ventana parecida a la Figura 3.

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   Figura 3. Segmento de línea desplegado por el programa PrettyPlot.

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3. El archivo main.cpp (en Sources) contiene la función main() donde estarás añadiendo código. Abre ese archivo y estudia el código.

   QApplication a(argc, argv);
   XYPlotWindow wLine;
   XYPlotWindow wCircle;
   XYPlotWindow wHeart;
   XYPlotWindow wButterfly;
   
   double y = 0.00;
   double x = 0.00;
   double increment = 0.01;
   
   for (double t = 0; t < 2*M_PI; t = t + increment) {
       // ecuaciones paramétricas
       x = t;
       y = t;
   
       // añade x, y como puntos en la gráfica
       wLine.AddPointToGraph(x,y);
   }
   
   // Luego de que todos los puntos sean añadidos, grafica y muestra el resultado
   wLine.Plot();
   wLine.show();

   La línea XYPlotWindow wLine; crea el objeto wLine que será la ventana en donde se dibujará una gráfica, en este caso la gráfica de un segmento. Observa el ciclo for. En este ciclo se genera una serie de valores para $t$ y se computa un valor de $x$ y $y$ para cada valor de $t$. Cada par ordenado $(x,y)$ es añadido a la gráfica del segmento por el método AddPointToGraph(x,y). Luego del ciclo se invoca el método Plot(), que "dibuja" los puntos, y el método show(), que muestra la gráfica. Los métodos son funciones que nos permiten trabajar con los datos de los objetos. Nota que cada uno de los métodos se escribe luego de wLine, seguido de un punto. En una experiencia de laboratorio posterior aprenderás más sobre objetos y practicarás cómo crearlos e invocar sus métodos.

   Las expresiones que tiene tu programa para $x$ y $y$ son ecuaciones paramétricas para la línea que pasa por el origen y tiene el mismo valor para las coordenadas en $x$ y $y$. Explica por qué la línea solo va desde 0 hasta aproximadamente 6.

4. Ahora escribirás el código necesario para graficar un círculo. La línea XYPlotWindow wCircle; crea el objeto wCircle para la ventana donde se graficará el círculo. Usando como inspiración el código para graficar el segmento, escribe el código necesario para que tu programa grafique un círculo de radio 3 con centro en el origen. Ejecuta tu programa y, si es necesario, modifica el código hasta que obtengas la gráfica correcta. Recuerda que el círculo debe graficarse dentro del objeto wCircle. Por esto, al invocar los métodos AddPointToGraph(x,y), Plot y show, estos deben ser precedidos por wCircle, por ejemplo, wCircle.show().

5. Tu próxima tarea es graficar una curva cuyas ecuaciones paramétricas son:

   $x=16 \sin^3(t)$

   $y=13 \cos(t) - 5 \cos(2t) - 2 \cos(3t) - \cos(4t)-3.$

   Si implementas las expresiones correctamente, debes ver la imagen de un corazón. Esta gráfica debe haber sido obtenida dentro de un objeto XYPlotWindow llamado wHeart.

6. Ahora graficarás una curva cuyas ecuaciones paramétricas son:

   $x=5\cos(t) \left[ \sin^2(1.2t) + \cos^3(6t) \right]$

   $y= 10\sin(t) \left[ \sin^2(1.2t) + \cos^3(6t) \right].$

   Observa que ambas expresiones son casi iguales, excepto que una comienza con $5\cos(t)$ y la otra con $10\sin(t)$. En lugar de realizar el cómputo de $\sin^2(1.2t) + \cos^3(6t)$ dos veces, puedes asignar su valor a otra variable $q$ y realizar el cómputo así:

   $q = \sin^2(1.2t) + \cos^3(6t)$

   $x = 5 \cos(t)(q)$

   $y = 10 \sin(t)(q).$

   Implementa las expresiones de arriba, cambia la condición de terminación del ciclo for a t < 16*M_PI y observa la gráfica que resulta. Se supone que parezca una mariposa. Esta gráfica debe haber sido obtenida dentro de un objeto XYPlotWindow llamado wButterfly.

En [2] y [3] puedes encontrar otras ecuaciones paramétricas de otras curvas interesantes.

Ejercicio 2 - Calcular el promedio de notas

En este ejercicio escribirás un programa para obtener el promedio de puntos para la nota (GPA, por sus siglas en inglés) de un estudiante. Supón que todos los cursos en la Universidad de Yauco son de $3$ créditos y que las notas tienen las siguientes puntuaciones: $A = 4$ puntos por crédito; $B = 3$ puntos por crédito; $C = 2$ puntos por crédito; $D = 1$ punto por crédito y $F = 0$ puntos por crédito.

Instrucciones

1. Crea un nuevo proyecto "Non-Qt" llamado Promedio. Tu función main() contendrá el código necesario para pedirle al usuario el número de A's, B's, C's, D's y F's obtenidas por el estudiante y computar el promedio de puntos para la nota (GPA por sus siglas en inglés).

2. Tu código debe definir las constantes $A=4, B=3, C=2, D=1, F=0$ para la puntuación de las notas, y pedirle al usuario que entre los valores para las variables $NumA$, $NumB$, $NumC$, $NumD$, $NumF$. La variable $NumA$ representará el número de cursos en los que el estudiante obtuvo $A$, $NumB$ representará el número de cursos en los que el estudiante obtuvo $B$, etc. El programa debe desplegar el GPA del estudiante en una escala de 0 a 4 puntos.

   Ayudas:

   a. El promedio se obtiene sumando las puntuaciones correspondientes a las notas obtenidas (por ejemplo, una A en un curso de 3 créditos tiene una puntuación de 12), y dividiendo esa suma por el número total de créditos.

   b. Recuerda que, en C++, si divides dos números enteros el resultado se "truncará" y será un número entero. Utiliza "type casting": static_cast<tipo>(expresión) para resolver este problema.

3. Verifica tu programa calculando el promedio de un estudiante que tenga dos A y dos B; ¿qué promedio tendría este estudiante? Cuando tu programa esté correcto, guarda el archivo main.cpp.

Entregas

1. Usa "Entrega 1" en Moodle para entregar el archivo main.cpp que contiene el código con las ecuaciones paramétricas de las gráficas del círculo, el corazón y la mariposa. Recuerda utilizar buenas prácticas de programación, incluye el nombre de los programadores y documenta tu programa.

2. Usa "Entrega 2" en Moodle para entregar el archivo main.cpp que contiene el código para computar el promedio. Recuerda seguir las instrucciones en el uso de nombres y tipos para las variables, incluir el nombre de los programadores, documentar tu programa y utilizar buenas prácticas de programación.

Referencias:

[1] http://mathworld.wolfram.com/ParametricEquations.html

[2] http://paulbourke.net/geometry/butterfly/

[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Parametric_equation